Образование. Успехи, проблемы и провалы.

[Spika ♔]

Собственно, можно подсчитать только x, а не yx, это гораздо проще. И убедиться, что он равен 2, а не 4, как если считать с помощью признаков делимости. Видимо, выписанное Сашей на доске число составители задачи писали "от фонаря".

Писали под решение по признакам делимости, наверное.
В четверг ответы будут, проверим, какой способ предлагается к решению.

[Сергій SV]

Мне кажется, если условиями задачи это не запрещено, проще самому посчитать, что это будет, да и цифры все на месте окажутся... 

Ээээ, на ЕГЭ при экзаменуемом: ручка, карандаш, линейка без шкалы. Калькулятор и циркуль - низзя.
Да и где такую разрядность взять?
Для факториала нет никаких правил вычисления последних цифр? Ибо это 52! же?

Это не сложно, нужна внимательность, 10 листов бумаги и время около часа. Без подготовки и очень внимательно у меня заняло 1ч20м, просто интересно стало ...

Согласен, для ЕГЭ это сложно и долго, +можно ошибиться довольно легко. Надо что то придумывать по правилам деления.  Да. Кроме того, чтобы получить последние цифры, кроме нулей не надо 52! вычислять, надо оставить только те сочетания сомножителей, которые влияют на что то, кроме нулей в конце, т.е. убрать все полные десятки сразу (например, х*13 = х*10+х*3) и, исходя из этого, вычеркнуть то, что влияет на нули в конце.

Т.е. 12 сомножителей, плюс диапазон 1..9 считается за две минуты, уже не 52 осталось, а 31...   И разрядность результата снижается на 12..

Потом, мы знаем, как быстро и легко умножать на 2, 5...    этот этап проходится за 15 минут и его откладываем на потом, когда разрядность будет большая.

Самый быстрый - считаем факториал 19! - можно прямо - это довольно быстро пойдет, записываем.

Потом перемножаем сложности - 21, 23, 26, 27, 33, 36, 37, 43, 46, 47, 51   - это больше всего занимает времени, как ни странно.

Потом быстренько результат на 2, 3, 4 и 5 - а нули нам не интересны...

В результате осталось 22, 24, 25, 28, 29, 31, 32, 34, 35, 38, 39, 41, 42, 44, 45, 48, 49, 52

Так вот, это быстрее делается в три раза, чем перемножение сложностей. Просто писать много циферок надо, быстро и внимательно. Есть люди, которые делают это в уме, но я не умею.

И самое сложное, последние 15 минут (а то и все полчаса, как пойдет) - результат умножить на ранее посчитанный 19!

Скажу честно, схему по правилам деления я бы дольше сочинял... И тоже легко ошибиться. Не зря там 4 балла.         

[Beltran]

Собственно, можно подсчитать только x, а не yx, это гораздо проще. И убедиться, что он равен 2, а не 4, как если считать с помощью признаков делимости. Видимо, выписанное Сашей на доске число составители задачи писали "от фонаря".

Писали под решение по признакам делимости, наверное.
В четверг ответы будут, проверим, какой способ предлагается к решению.

Это я проврался в расчетах, множитель 2 потерял. Исправил. Приношу извинения, возможно, Саша правильно свое число выписал.

[Spika ♔]

Любителям очередная задачка:

а) Может ли сумма четырех натуральных чисел равняться произведению этих  же четырех чисел?                                                 
б) Может ли сумма четырех различных натуральных чисел равняться произведению этих  же четырех чисел?                                       
в) Может ли сумма 2015 различных положительных рациональных чисел равняться произведению этих же 2015 чисел?

весь вариант здесь: http://alexlarin.net/ege/2016/trvar126.html

а) может, например 1Х1Х2Х4 = 1+1+2+4 = 8
б) не может, ибо 1х2х3х4 = 24, а 1+2+3+4 = 10, с увеличением чисел произведение растет быстрее суммы. А вот как это доказать?
в) пока не знаю, с какой стороны к этому вообще подходить... Хотя интуитивно, наверное, может, но тогда пример придумать надо.

[Solmir]

б) не может, ибо 1х2х3х4 = 24, а 1+2+3+4 = 10, с увеличением чисел произведение растет быстрее суммы. А вот как это доказать?
в) пока не знаю, с какой стороны к этому вообще подходить... Хотя интуитивно, наверное, может, но тогда пример придумать надо.

Есть N чисел. Пусть минимальное из них равно х. Сумма больше Nх, она равна произведению по условию. Сокращаем и получаем N >  произведения N-1 чисел, кроме наименьшего числа. Второе по величине число не менее 2. Произведение превышает 2^(N-1). Дальше просто. Решаем N >  2^(N-1).

[Beltran]

б) не может, ибо 1х2х3х4 = 24, а 1+2+3+4 = 10, с увеличением чисел произведение растет быстрее суммы. А вот как это доказать?
в) пока не знаю, с какой стороны к этому вообще подходить... Хотя интуитивно, наверное, может, но тогда пример придумать надо.

Есть N чисел. Пусть минимальное из них равно х. Сумма больше Nх, она равна произведению по условию. Сокращаем и получаем N >  произведения N-1 чисел, кроме наименьшего числа. Второе по величине число не менее 2. Произведение превышает 2^(N-1). Дальше просто. Решаем N >  2^(N-1).

Получаем N < произведения N-1 чисел, кроме наименьшего числа?

Сумма S больше Nx, она равна произведению П по условию. П равно xП', где П'- произведение N-1 чисел, кроме наименьшего числа x. То есть Nx < S = П = x П', откуда N < П'.

Или я что-то не так понял?

Update. Идея вроде действительно работает, только в качестве x нужно брать не минимальное, а максимальное из чисел, и неравенство получается N > 2^(N-2).

[Beltran]

Любителям очередная задачка:

а) Может ли сумма четырех натуральных чисел равняться произведению этих  же четырех чисел?                                                 
б) Может ли сумма четырех различных натуральных чисел равняться произведению этих  же четырех чисел?                                       
в) Может ли сумма 2015 различных положительных рациональных чисел равняться произведению этих же 2015 чисел?

весь вариант здесь: http://alexlarin.net/ege/2016/trvar126.html

а) может, например 1Х1Х2Х4 = 1+1+2+4 = 8
б) не может, ибо 1х2х3х4 = 24, а 1+2+3+4 = 10, с увеличением чисел произведение растет быстрее суммы. А вот как это доказать?
в) пока не знаю, с какой стороны к этому вообще подходить... Хотя интуитивно, наверное, может, но тогда пример придумать надо.

б) Тупо в лоб.

Пусть m_1 < m_2 < m_3 < m_4 - четыре различных положительных целых числа. Пусть n_i = m_i - 1 (i =1,2,3,4). Имеем

m_1 m_2 m_3 m_4 = (n_1 + 1) (n_2 + 1) (n_3 + 1)(n_4 + 1) = n_1 n_2 n_3 n_4 + n_1 n_2 n_3 + n_1 n_2 n_4 + n_1 n_3 n_4 + n_2 n_3 n_4 + n_1 n_2 + n_1 n_3 + n_1 n_4 + n_2 n_3 + n_2 n_4 + n_3 n_4 + n_1 + n_2 + n_3 + n_4 + 1

В сумме справа все члены неотрицательные, 4 члена:  n_2 n_3 n_4, n_2 n_3, n_2 n_4,  n_3 n_4 положительные (значит, не меньше 1), а n_1 + n_2 + n_3 + n_4 + 1 = m_1 + m_2 + m_3 + m_4 - 3. Значит, m_1 m_2 m_3 m_4 больше или равно  m_1 + m_2 + m_3 + m_4 + 1.

в) Пусть a,b - рациональные числа, a>0, b>1. Тогда найдется положительное рациональное число x такое, что a + x = b x (именно, x = a/(b-1)).

Значит, какими бы не были 2014 различных положительных рациональных чисел, произведение b которых больше 1, найдется 2015-ое число x такое, что сумма a + x всех 2015 чисел равна их произведению b x.

Остается гарантировать, чтобы полученное 2015-ое число x не равнялось одному из первых 2014 чисел. Для этого в качестве первых чисел можно взять 1,2, ... , 2014, тогда x будет явно меньше 1, а потому не равно ни одному из предшествующих чисел.   

[Spika ♔]

Что-то я туплю, ошибки у себя не нахожу, а ответ не принимает программа:

Мэр Васюков решил провести в своем городе турнир между четырьмя сильнейшими  шахматистами  планеты.  Для  этого  он  разослал приглашения гроссмейстерам А, B, С и D. Вероятность того, что А не приедет равна 0,3. Вероятность того, что B примет приглашение равна 0,6. Гроссмейстеры С и D с равной вероятностью могут как приехать на турнир, так и отказаться от приглашения. Какова вероятность, что турнир четырех сильнейших гроссмейстеров в Васюках все же состоится?

Cпойлер

У меня 0,105 получилось.

[Старина Z]

Что-то я туплю, ошибки у себя не нахожу, а ответ не принимает программа:

Мэр Васюков решил провести в своем городе турнир между четырьмя сильнейшими  шахматистами  планеты.  Для  этого  он  разослал приглашения гроссмейстерам А, B, С и D. Вероятность того, что А не приедет равна 0,3. Вероятность того, что B примет приглашение равна 0,6. Гроссмейстеры С и D с равной вероятностью могут как приехать на турнир, так и отказаться от приглашения. Какова вероятность, что турнир четырех сильнейших гроссмейстеров в Васюках все же состоится?

Cпойлер

У меня 0,105 получилось.

У меня тоже 0,105 получилось. (1-0,3)х0,6х0,5х0,5 = 0,105.

[Ellianna]

Тетяна Даниленко
20 hrs · Kyiv ·

Мрію взяти інтерв'ю в упорядника шкільної програми. Особливо для молодших класів. Дуже смішить наукообразіє в підходах. Про основні предмети я взагалі мовчу, але ось природознавство, в якому треба вивчати поняття конденсації, гномона, орбіти, фізичної карти, горизонту і взагалі "конспектувати поняття" (поняття, Карл, конспектувати, у 7 років) А паралельно вчити народні прикмети... Наприклад: журавлі полетять на Микити - на Покрови буде мороз, коли не полетять - зима настане пізніше. Снігурі (!) прилетіли в грудні - зима буде суворою (стєсняюсь спитати, а вони влітку на північний полюс літають?) Про зайців, які рано нагулюють жир - на холодну зиму, я навіть не починатиму. Вони це все серйозно чи щоб тупо поржать?

[Solmir]

Тетяна Даниленко
20 hrs · Kyiv ·

Мрію взяти інтерв'ю в упорядника шкільної програми. Особливо для молодших класів. Дуже смішить наукообразіє в підходах. Про основні предмети я взагалі мовчу, але ось природознавство, в якому треба вивчати поняття конденсації, гномона, орбіти, фізичної карти, горизонту і взагалі "конспектувати поняття" (поняття, Карл, конспектувати, у 7 років) А паралельно вчити народні прикмети... Наприклад: журавлі полетять на Микити - на Покрови буде мороз, коли не полетять - зима настане пізніше. Снігурі (!) прилетіли в грудні - зима буде суворою (стєсняюсь спитати, а вони влітку на північний полюс літають?) Про зайців, які рано нагулюють жир - на холодну зиму, я навіть не починатиму. Вони це все серйозно чи щоб тупо поржать?

Не поленился, нашел и прочитал этот учебник. Он для 4 класса, так что не для 7 лет (врет Тетяна Даниленко). Понятия простейшие. Орбита - путь, по которому движется Земля.
Как по мне, нормальный учебник для 10 лет. Есть к чему придраться (среди планет то есть Плутон, то нет его). Впрочем, весь не читал, народных примет не видел.

[Spika ♔]

Любителям извращений:

19. В трапеции ОВСD с основаниями ОD=a и ВС=b параллельно основаниям проведены четыре отрезка с концами на боковых сторонах: HM, GE, AR и KV. Известно, что первый отрезок проходит через точку пересечения диагоналей трапеции, второй – делит ее на два подобных четырехугольника, третий – соединяет середины боковых сторон, четвертый разбивает трапецию на две равновеликие части.
А) Найдите длины этих отрезков.
Б) Докажите, что HM<GE<AR<KV.

[Solmir]

Любителям извращений:

19. В трапеции ОВСD с основаниями ОD=a и ВС=b параллельно основаниям проведены четыре отрезка с концами на боковых сторонах: HM, GE, AR и KV. Известно, что первый отрезок проходит через точку пересечения диагоналей трапеции, второй – делит ее на два подобных четырехугольника, третий – соединяет середины боковых сторон, четвертый разбивает трапецию на две равновеликие части.
А) Найдите длины этих отрезков.
Б) Докажите, что HM<GE<AR<KV.

Элементарная алгебра. Эти отрезки делят высоту трапеции в отношениях a:b, sqrt(a:b), 1:1, b:a. Дальше просто.

[Rumor]

Помогите придурку, то есть мне. Учил матан и функан  три года и забыл все. У коллеги парень учится в какой-то инженерной школе, не слишком сложной. Надо решить уравнение (x-3)/(x-4)=4-(x-5)/(x-4)
Решая школьными методами приходим к очевидному решению x=4. Пытаемся подставить в уравнение, получаем конфликт со школьной математикой "делить на ноль нельзя".
Мне, конечно, пришло в голову, что это они проходят таким образом раскрытие неопределенностей, но я сильно сомневаюсь, потому что это уже все же не совсем простая математика. Там что-нибудь еще, кроме этого и тривиальной ошибки в условии может быть?

[Solmir]

(x-3)/(x-4)=4-(x-5)/(x-4)

Умножаем на (x-4), предположив, что это не ноль (т.е. решение x=4 появится из-за этого умножения). Получаем
x-3=4(x-4)-x+5
8=2x
x=4.
Ответ. Уравнение не имеет решения в рамках алгебры.
Но x -> 4 дает асимптотическое решение.
При этом можно использовать любое значение A в (x-3)/(x-4)=A-(x-5)/(x-4).

[Rumor]

Ага, спасибо.

[Beltran]

(x-3)/(x-4)=4-(x-5)/(x-4)

Умножаем на (x-4), предположив, что это не ноль (т.е. решение x=4 появится из-за этого умножения). Получаем
x-3=4(x-4)-x+5
8=2x
x=4.
Ответ. Уравнение не имеет решения в рамках алгебры.
Но x -> 4 дает асимптотическое решение.
При этом можно использовать любое значение A в (x-3)/(x-4)=A-(x-5)/(x-4).

Нельзя ли разъяснить выделенное более подробно, для особо тупых, вроде меня?

Уравнение (x-3)/(x-4)=A-(x-5)/(x-4), если не ошибаюсь, можно переписать в виде 1 + 1/(x-4) = A - 1 + 1/(x-4). При A, не равном 2, это уравнение не имеет решений, а при А=2 решениями являются все х, кроме х = 4. Или не так?

[Greta]

(x-3)/(x-4)=4-(x-5)/(x-4)

Умножаем на (x-4), предположив, что это не ноль (т.е. решение x=4 появится из-за этого умножения). Получаем
x-3=4(x-4)-x+5
8=2x
x=4.
Ответ. Уравнение не имеет решения в рамках алгебры.
Но x -> 4 дает асимптотическое решение.
При этом можно использовать любое значение A в (x-3)/(x-4)=A-(x-5)/(x-4).

Я, наверное, капитально ошибаюсь, высчитывая на глаз, но у меня х=6 и не равно 4.

[shtativ]

Но x -> 4 дает асимптотическое решение.

Солмир, а это не может быть задача на деление на многочлен?

[Greta]

Отвлекусь и попытаюсь вспомнить алгебру и распишу.
(Х-3)=4-(х-5)   при этом х не равен 4
2х=12
Х=6
Проверка:
(6-3)/(6-4)=4-(6-5)/(6-4)
Как вы х=4 получили?

[Beltran]

Отвлекусь и попытаюсь вспомнить алгебру и распишу.
(Х-3)=4-(х-5)   при этом х не равен 4
2х=12
Х=6
Проверка:
(6-3)/(6-4)=4-(6-5)/(6-4)
Как вы х=4 получили?

Вместо выделенного должно быть х-3 = 4(х-4) - (х-5)

Кстати, по поводу проверки: по-твоему, 3/2 = 4 - 1/2?

[shtativ]

Отвлекусь и попытаюсь вспомнить алгебру и распишу.
(Х-3)=4-(х-5)   при этом х не равен 4
2х=12
Х=6
Проверка:
(6-3)/(6-4)=4-(6-5)/(6-4)
Как вы х=4 получили?

посчитать внимательно не хочешь, а то у тебя получилось... трампарам... 1,5=3,5. Ничего лишнего в глаза не бросается? 

[Greta]

Отвлекусь и попытаюсь вспомнить алгебру и распишу.
(Х-3)=4-(х-5)   при этом х не равен 4
2х=12
Х=6
Проверка:
(6-3)/(6-4)=4-(6-5)/(6-4)
Как вы х=4 получили?

Вместо выделенного должно быть х-3 = 4(х-4) - (х-5)

С какой радости? А сокращение как же?
(Или поделить на одно и тоже или умножить на одно и тоже. Не надо про скобки забывать)

[shtativ]

С какой радости? А сокращение как же?
(Или поделить на одно и тоже или умножить на одно и тоже. Не надо про скобки забывать)

А одинокую четверку ты поделила или умножила?

[Beltran]

Отвлекусь и попытаюсь вспомнить алгебру и распишу.
(Х-3)=4-(х-5)   при этом х не равен 4
2х=12
Х=6
Проверка:
(6-3)/(6-4)=4-(6-5)/(6-4)
Как вы х=4 получили?

Вместо выделенного должно быть х-3 = 4(х-4) - (х-5)

С какой радости? А сокращение как же?
(Или поделить на одно и тоже или умножить на одно и тоже. Не надо про скобки забывать)

Было: (х-3)/(х-4) = 4 - (х-5)/(х-4). Умножили левую и правую части на (х-4), получили  [(х-3)/(х-4)] (x-4) = 4 (x-4) - [(х-5)/(х-4)] (x-4), то есть х-3 = 4(х-4) - (х-5). Разве не так?

[Rumor]

 

[Greta]

Отвлекусь и попытаюсь вспомнить алгебру и распишу.
(Х-3)=4-(х-5)   при этом х не равен 4
2х=12
Х=6
Проверка:
(6-3)/(6-4)=4-(6-5)/(6-4)
Как вы х=4 получили?

Вместо выделенного должно быть х-3 = 4(х-4) - (х-5)

С какой радости? А сокращение как же?
(Или поделить на одно и тоже или умножить на одно и тоже. Не надо про скобки забывать)

Было: (х-3)/(х-4) = 4 - (х-5)/(х-4). Умножили левую и правую части на (х-4), получили  [(х-3)/(х-4)] (x-4) = 4 (x-4) - [(х-5)/(х-4)] (x-4), то есть х-3 = 4(х-4) - (х-5). Разве не так?

Я вашу правую часть понять не могу.
Там вообще не надо премножать, поэтому что сокращается, но если делать так, как вы, то правильная апись будет:
[(х-3)/(х-4)] (х-4)=[(4-(х-5)/(х-4)](х-4)
(х-4) уходит из обеих частей. При этом х не равен 4 (тогда и на ноль делить не надо будет)

[shtativ]

Подумал было, что есть вариант решения возвести обе части в квадрат. Но или я со знаками напутал, или дискриминант получается отрицательный.

[Greta]

С какой радости? А сокращение как же?
(Или поделить на одно и тоже или умножить на одно и тоже. Не надо про скобки забывать)

А одинокую четверку ты поделила или умножила?

Я лучше сделала, я ее в скобки взяла

[В.И.Лемминг]

Я лучше сделала, я ее в скобки взяла

По принципу: так красивше?